I föregående artikel lärde vi känna den viktigaste egenskapen hos ett svart hål: händelsehorisonten. Det är en gräns som bildar det svarta hålets yta och som bara låter ljus och materia passera från det svarta hålets utsida till dess insida. Den motsatta resan – från insidan till utsidan – är omöjlig. Anledningen är att rum och tid har förändrats så pass kraftigt vid händelsehorisonten att inga färdvägar inuti det svarta hålet leder ut ur det.

När vi diskuterade händelsehorisonten utgick vi från den modell för svarta hål som Karl Schwarzschild upptäckte 1915. I denna modell är svarta hål helt tomma. Detta kan verka vara paradoxalt, eftersom astronomer och fysiker ofta säger att svarta hål har en massa. Exempelvis så är den största massan som har uppmätts hos ett svart hål 66 miljarder solmassor, vilket är ett rekord som innehas av ett svart hål med namnet TON 618.

I det här inlägget ska jag berätta hur det är möjligt för ett svart hål att ha en massa samtidigt som det är helt tomt. Då kan vi även förstå hur astronomer kan observera massan hos ett svart hål. Vi ska titta på den här frågan genom att se hur svarta hål fungerar i Schwarzschilds modell. Det är den första, viktigaste och enklaste modellen för hur svarta hål fungerar. När jag säger ”svart hål” i det här inlägget menar jag således ”svart hål så som det beskrivs enligt Schwarzschilds modell”.

Vad är solens massa?

Låt oss börja med att bestämma massan hos ett mera närbeläget objekt: solen. Vi ser solen varje dag. Vi känner av dess ljus. Men hur många kilogram finns egentligen inuti det brinnande klotet? Vi kan inte ta solen och placera den på en våg. Vi kan inte heller räkna hur många väteatomer den består av (och sedan multiplicera med väteatomens massa för att få fram solens massa). Vi måste använda någon annan metod för att bestämma solens massa.

Den metoden heter Keplers Tredje Lag. Den tyske astronomen Johannes Kepler publicerade den lagen 1619 i boken Världens harmoni. Genom att analysera data som den danske astronomen Tycho Brahe hade samlat in upptäckte Kepler att det finns en djup matematisk struktur i vårt solsystem. Den Tredje Lagen säger att det finns en specifik matematisk relation mellan den tid som det tar för en planet att åka ett varv runt solen och avståndet mellan planeten och solen. Betrakta till exempel följande tabell:

Planet	Avstånd (AU)	Period (dagar)	Avstånd i kubik/ period i kvadrat
Merkurius	0,38710	87,9693	7,496
Venus	0,72333	224,7008	7,496
Jorden	1	365,2564	7,496
Mars	1,52366	686,9796	7,495
Jupiter	5,20336	4332,8201	7,504
Saturnus	9,53707	10775,599	7,498
Uranus	19,1913	30687,153	7,506
Neptunus	30,0690	60190,03	7,504

I den första kolumnen har vi solsystemets planeter. I den andra kolumnen har vi det längsta avståndet som planeter har från solen (i den enheten av jordens avstånd från solen). I den tredje kolumnen har vi antalet dagar det tar för planeten att åka ett varv runt solen. I den sista kolumnen har vi tagit en kombination av kolumn två och tre: avståndet i kvadrat delat på perioden i kubik (svaret har också skalats om med en faktor 10⁶ för att göra tabellen lättare att läsa). Du kan själv testa att välja en planet, ta dess avstånd upphöjd till tre, dela på dess period upphöjt till två, och multiplicera det hela med en miljon. Då ska du få värdet i den fjärde kolumnen.

Vad vi ser är att vi vår fram nästan exakt samma värde för alla planeter: 7,49 eller 7,50. ”Jag trodde först att jag drömde”, skrev Kepler om hur det kändes när han upptäckte denna matematiska struktur. Trots att planeternas omloppstider och avstånd från solen varierar så karaktäriseras samtliga planetbanor av nästan exakt samma tal.

Kepler kunde inte förklara varifrån detta tal kom. Men nästan 70 år efter att Kepler upptäckt denna siffra kunde Newton förklara dess ursprung. Siffran 7,49 är ett direkt resultat av solens massa. Newton visade att på grund av gravitationskraften som solen utöver på planeterna så måste planeterna röra sig kring bestämda omloppsbanor (de små avvikelserna kring 7,49 kommer bland annat från de övriga planeternas påverkan på omloppsbanorna). Keplers Tredje Lag är en konsekvens av solens gravitationskraft.

Genom att använda Keplers lag är det möjligt att bestämma solens massa: det går att konvertera siffran 7,49 till en bestämd massa. Newton försökte själv göra det, men hans uppskattning var inte helt tillfredsställande eftersom den data han använde inte hade så hög precision. Men idag kan vi använda Keplers Tredje Lag utan problem och slå fast att solens massa är ungefär 1,99 × 10³⁰ kg.

Resultat 1: I astronomiska sammanhang går massan hos ett objekt att mäta genom att observera hur olika saker rör sig långt bort från detta objekt.

Det finns någonting märkligt i denna bestämning av solens massa. Vi har inte kommit fram till resultatet 1,99 × 10³⁰ kg genom att observera solen. Tvärtom så har vi observerat någonting helt annat än solen, nämligen planeterna som rör sig kring solen. Vi har observerat planeternas rörelse för att dra slutsatser om solens massa. Detta är möjligt eftersom planeternas rörelse beror på solens gravitationskraft. Massan hos ett objekt går att bestämma genom att observera dess gravitationella inflytande.

Detta är centralt för hur ett svarta hål kan ha en massa. Massa är någonting som vi mäter genom att studera rörelser långt bort från objektet vars massa vi är intresserad av. Vill vi prata om massan hos ett svart hål måste vi därför först diskutera vad det är hos ett svart hål som påverkar hur planeter eller stjärnor rör sig kring det.

Ett massivt tomrum

I Schwarzschilds modell har ett svart hål bara en enda egenskap: dess storlek. Denna storlek bestämmer hur stor händelsehorisonten är, dvs den yta som bara tillåter ljus och materia att passera i en riktning. Ytan har formen av en sfär, och en vanlig parameter för att ange storleken av denna sfär är Schwarzschildradien.

Resultat 2: Schwarzschildradien bestämmer det svarta hålets storlek.

Storleken hos ett svart hål kommer att avgöra vad som händer med objekt som rör sig utanför det. Antag att en planet rör sig kring ett svart hål (det skulle också kunna en stjärna, en astronaut eller vad som helst, men för enkelhets skull kallar vi det nu för en planet). Planetens rörelse beror på hur långt bort den är från det svarta hålet, och hur stort det svarta hålet är. Befinner sig planeten långt bort från det svarta hålet kommer den röra sig på omloppsbanor som ser ut som de vi har i vårt solsystem. Närmare det svarta hålet kommer planetbanornas form att rotera kring det svarta hålet. Ett exempel på det kan vi även se i vårt eget solsystem, eftersom formen på Merkurius planetbana också roterar kring solen (vi kommer titta mer på relationen mellan planetbanornas form i vårt solsystem och omloppsbanorna kring svarta hål längre fram).

Vi ser nu en intressant analogi mellan det svarta hålets storlek och solens massa. Det är solens massa som bestämmer hur planeter rör sig kring solen, och det är det svarta hålets storlek som bestämmer hur planeter rör sig kring ett svart hål. Kanske kan vi därför även associera det svarta hålets storlek till det svarta hålets massa?

Antag exempelvis att vi arbetar som dataanalytiker för ett intergalaktiskt företag som uppskattar massan hos olika objekt i rymden. Vi har fått en tabell med data från ett främmande planetsystem. Datan innehåller tabeller över planeternas omloppstider och avstånd från något centralt objekt. Men vi har inte fått reda på vad det är för ett centralt objekt. Vi stoppar in vår planetdata i algoritmen Keplers Tredje Lag. Ut får vi ett tal som anger massan hos det centrala objektet. Vi har bestämt massan hos detta objekt utan att ha tillgång till en enda observation av objektet! (Kom ihåg att när vi räknade ut solens massa gjorde vi det endast genom att observera planeternas rörelser, utan att överhuvudtaget behöva göra någon observation av solen.)

Objektet som det intergalaktiska företaget har bestämt massan hos kanske är en stjärna, men det skulle också kunna vara ett svart hål. Antag att det var ett svart hål. Då har vi bestämt det svarta hålets massa. Men den enda egenskap ett svart hål har (i Schwarzschilds modell) är dess storlek. Därför måste det finnas en relation mellan det svarta hålets storlek och dess massa. Denna relation skrev Schwarzschild ner för över hundra år sedan. Den säger att massan hos ett svart hål är proportionerlig mot det svarta hålets Schwarzschildradie.

Resultat 3: Det svarta hålets massa är proportionerlig mot dess Schwarzschildradie.

Ett stort svart hål har större massa, och ett litet en mindre massa. När vi börjar prata om massa börjar också vår bild av svarta hål skifta något. I förra artikeln sade vi att svarta hål egentligen inte är objekt i traditionell bemärkelse. De är inte en bit materia som existerar på en plats i rummet, utan en hel rumtidsgeometri. Svarta hål är geometriska fenomen. Men när vi pratar om massa börjar det kännas rimligt att prata om dem som objekt: någonting som ockuperar en plats i rummet och som styr hur planeter, stjärnor, gas, ljus och allt möjligt rör sig i dess närhet.

Genom att observera hur exempelvis stjärnor rör sig kring ett svart hål går det att bestämma dess massa. Andrea Ghez och Reinhard Genzel fick Nobelpriset i fysik år 2020 för denna bedrift. De har mätt hur stjärnorna rör sig kring det svarta hålet i Vintergatans mitt, och kan utifrån denna observation dra slutsatsen att det svarta hålet är lika massivt som drygt fyra miljoner solar. Detta motsvarar en Schwarzschildradie på drygt tio miljoner kilometer, vilket är ungefär 17 gånger så stort som solens radie. Det är nästan 10% av avståndet mellan solen och jorden.

När vi börjar tänka på svarta hål i termer av objekt som har en viss massa kan vi också definiera deras täthet: relationen mellan deras massa och deras volym. Eftersom både massa och volym beror på Schwarzschildradien (massan är direkt proportionerlig mot Schwarzschildradien och volymen beror på Schwarzschildradien i kubik) får vi följande intressanta resultat:

Resultat 4: Tätheten hos ett svart hål beror på hur stor massa det svarta hålet har. Ju större massa desto mindre täthet.

Ett litet svart hål kan ha en enorm täthet, men ett väldigt stort svart hål kan ha en väldig liten täthet. Vi bör dock inte ta påståendet om ett svart håls täthet alltför noggrant. Ett svart hål är ju tomt, och dess inre volym är inte helt väldefinierad eftersom rummet förändras så pass kraftigt inuti det. Men om man betraktar det svarta hålet utifrån som ett objekt med en viss massa och som ockuperar en viss volym definierad av Schwarzschildradien är det rimligt att prata om dess täthet.

Ofta beskrivs ett svart hål som ett objekt där materien har packats ihop på ett extremt sätt så att tätheten är väldigt hög. Det är sant för små svarta hål, sådana som bildas då stjärnor får slut på bränsle och dör. Men stora svarta hål – sådana som finns i mitten av de flesta galaxer – behöver inte alls ha en extrem täthet. Räknar man ut tätheten hos det svarta hålet TON 618 så är den mindre än 1% av tätheten hos jordens atmosfär! I den bemärkelsen behöver svarta hål inte alls vara extrema.

Har vi verkligen mätt solens massa?

Vi har ännu inte besvarat frågan om hur ett svart hål kan ha en massa trots att det, i Schwarzschilds modell, är helt tomt. Solen består av väte, men svarta hål består inte av någonting. Vad är det då vi egentligen menar när vi säger att ett svart hål har en massa?

Som vi såg styr massan hur planeter eller stjärnor rör sig kring det svarta hålet. Rörelsen beror på rummets och tidens förändring kring det svarta hålet. Detsamma gäller för solen: jordens färd kring solen beror på hur mycket solens massa har förändrat rummet och tiden kring solen. I dessa sammanhang borde vi därför tänka lite annorlunda kring vad massa egentligen är. Massa är ett mått på hur mycket rummet och tiden har förändrats. När vi bestämmer solens massa med hjälp av Keplers Tredje Lag har vi ju bara mätt hur planeterna rör sig genom rummet och tiden. Ett svart hål kan därför ha en massa eftersom massa handlar om rumtidens krökning, och på motsvarande sätt kan vi prata om solens rumtidskrökning eftersom den har en massa.

Vad vi ser är därför att begreppet massa egentligen är mycket djupare än vad vi först tänker oss. Slutsatsen är därför att ett svart hål kan ha en massa eftersom massa i gravitationella sammanhang handlar om rumtidskrökning. Att definiera vad massa är i andra sammanhang innehåller också en hel del överraskande moment. Se exempelvis den här spännande videon av Gabe Perez-Giz som förklarar vad relationen E=mc² egentligen säger oss om vad massa ”är”.

Schwarzschildradiens sanna innebörd

Den viktigaste innebörden i formeln som relaterar ett svart håls Schwarzschildradie och dess massa är att vi får en fingervisning om hur svarta hål kan uppstå. Om en given mängd massa trycks ihop innanför den volym som definieras av Schwarzschildradien uppstår ett svart hål (strikt sett är detta ett antagandet, Hoopantagandet, som inte är fullständigt matematiskt bevisat). För en given mängd materia kan vi därför räkna ut volymen den måste tryckas ihop innanför för att den materiaklumpen ska bli ett svart hål.

Till varje massa finns en Schwarzschildradie. För solens massa så är Schwarzschildradien tre kilometer. Hela solens massa skulle således behöva tryckas ihop inom en sfär med radien tre kilometer för att ett svart hål ska bildas. För jorden är Schwarzschildradien ännu mindre, knappt en centimeter. Om hela jorden kunde pressas ihop till en storlek som du kan måtta upp mellan tummen och pekfingret skulle ett svart hål uppstå.

Men vi är inte riktigt färdiga med frågan om var massan hos ett svart hål kommer ifrån. Det räcker inte med att säga att massa handlar om rumtidskrökning, och att det därför inte är något märkligt med att ett svart hål kan ha en massa. Om ett svart hål bildas när materia kollapsar så måste massan hos ett svart hål komma från den materia som bildade det. Men var finns denna massa?

På grund av den starka gravitationen kommer materian som kollapsar och bildar ett svart hål att fortsätta kollapsa ihop till en punkt inuti det svarta hålet. Exakt vad som händer vid denna punkt är oklart. Vi kommer att diskutera denna punkt i en kommande artikel som går igenom det fenomen som kallas för singulariteten. Men redan nu vill jag poängtera att det inte är riktigt kartlagt vad som händer med den massa som faller in i ett svart hål, och hur denna massa övergår till att bli till massan hos det svarta hålet. En vanlig tanke är att all massa som bildade det svarta hålet sitter fast i punkten längst inuti det svarta hålet i något slags extremt tätpackat tillstånd.

Flera fysiker invänder dock mot denna bild. De menar att det inte är relevant vad som sker vid denna punkt för den övergripande strukturen hos ett svart hål. Det enda relevanta är storleken på händelsehorisonten – det är det som definierar ett svart hål i Schwarzschilds modell. När man analyserar Schwarzschilds modell matematiskt ser det inte heller ut som att det finns en ”punkt” längst inuti det svarta hålet där massan är koncentrerad. Vi kan förstås tolka detta som att Schwarzschilds modell är ofullständig.

I slutändan kommer vi aldrig att veta vad som händer med den materia som bildade ett svart hål. Allt vi ser – eller snarare: inte ser – är den mörka händelsehorisonten. Om det finns någon massa därinne kan vi aldrig mäta var den kom ifrån, vad den består av och vad den gör.

Mot händelsehorisonten

Innan vi avslutar, låt oss falla mot ett svart hål och se vad som händer med våra kroppar. Vi kommer att se att det finns en överraskning kvar kring relationen mellan det svarta hålets massa och hur snabbt vi slits isär.

Så, föreställ dig att du faller mot ett svart hål. Det är tomt runt omkring dig. Du faller i ett kompakt mörker. Eftersom ett svart hål bara består av tid och rum så är allt som sker när du faller mot ett svart hål att du färdas genom rummet och tiden.

I början känner du ingenting speciellt då du färdas genom mörkret, men plötsligt börjar det kännas konstigt. Dina fötter tycks accelerera snabbare nedåt – vad nu nedåt och uppåt är i tomma rymden – än ditt huvud. Det är som om du tänjs ut mellan huvud och fötter. Samtidigt känns det som att du trycks ihop från sidorna av din kropp. Du hinner knappt registrera känslan av hur din kropp börjar tänjas ut innan den slits isär. Din resa in i det svarta hålet är över.

Så kan – kortfattat – en resa in i ett svart hål beskrivas. Anledningen till att du började tänjas ut var att dina fötter accelererade snabbare mot det svarta hålet än ditt huvud. Din kropp började därför att sträckas ut. Samtidigt så trycks din kropp ihop längst sidorna. Stephen Hawking kallade detta fenomen för spagettifikation. Allt som faller in i ett svart hål kommer att dras ut och tryckas ihop likt en bit spagetti. Observera att det inte riktigt är som att sträckas ut i en medeltida sträckbänk. I en sträckbänk dras fötterna och händerna ut var för sig, och utsträckningen drar ut våra muskler och andra vävnader men behåller skeletten nästintill intakta. Men i ett svart hål är det alla delar av kroppen som kommer att dras ut: muskler, vävnader och skelett ända ner till dina celler, din genetiska kod och enskilda molekyler och atomer.

Fenomenet kanske låter exotiskt, men en parallell till det sker hela tiden på jorden i form av vattnets ebb och flod. Vattennivån kan höjas och sänkas på olika platser på jorden med upp till flera meter. Orsaken är månens, och till viss del solens, gravitationella påverkan på jordens hav. Månens gravitationella påverkan på jorden ser olika ut eftersom olika delar av jorden har ett något annorlunda avstånd till månen. Detta skapar en skillnad i gravitationell styrka vid jordens olika delar, och denna skillnad ger upphov till havens böljande rörelser fram och tillbaka.

Detta fenomen kallas för tidvattenkrafter. Effekterna av tidvattenkrafterna på havet går att se med blotta ögat (tipsar återigen om Gabe Perez-Giz som ger en bra förklaring av hur tidvattenkrafterna påverkar vattnets rörelse). Med hjälp av känsliga instrument går det även att mäta hur jordens landmassa sträcks ut på grund av tidvattenkrafterna. Både land och hav förändras således på grund av skillnaden i hur olika delar av land och hav accelererar mot månen (och till viss del solen). Att även jordens fasta materia förändras är förvisso en liten effekt (det kallas för earth tides på engelska), men den påverkar positioner på jordytan så pass mycket att det är någonting som astronomerna måste ta hänsyn till då de observerar svarta hål!

Tillbaka till vårt fall in i det svarta hålet. Det är tidvattenkrafterna kring ett svart hål som gör att vi dras ut som spagetti när vi faller mot det. Men vi sade ingenting om exakt när det börjar kännas som att din kropp slits isär. Vi sade inte heller att du hade passerat händelsehorisonten. När du börjar känna av dessa tidvattenkrafter beror nämligen på hur stort det svarta hålet är. Det kan hända att du känner av dem utanför det svarta hålet, men det kan också hända att du passerar händelsehorisonten och känner av dem först inuti det svarta hålet.

Spontant kanske det känns som att det är farligare att åka in i ett större svart hål än ett mindre. Men något överraskande så är det faktiskt tvärtom: du har större chans att överleva en färd in i ett stort svart hål än ett litet. Anledningen är den relativa storleken mellan dig och det svarta hålet. Om du faller in i ett litet svart hål så kommer skillnaden i den gravitationella styrkan mellan dina fötter och ditt huvud att vara större än om du faller in i ett stort svart hål (vid det svarta hålets händelsehorisont). Det är ungefär som om du vill se jordens eller Globens krökning. Eftersom din kropp är liten i jämförelse med jorden så ser du inte effekten av dess krökning. Jorden ser platt ut. Men står du på Globen ser du att den är rund (dess krökning) eftersom den relativa skillnaden mellan din och Globens storlek inte är så stor. På motsvarande sätt kommer du att känna av krökning av ett litet svart hål mycket mer än ett stort svart hål.

Resultat 5: Tidvattenkrafterna vid horisonten hos ett svart hål blir mindre ju större massan är. Det är därför säkrare att åka in i ett stort (dvs mera massivt) svart hål än ett litet.

Sammanfattning

I föregående artikel presenterade jag det svarta hålets viktigaste egenskap: händelsehorisonten. I denna artikel har vi sett att storleken på händelsehorisonten avgör vad som händer utanför det svarta hålet. Storleken bestäms av det svarta hålets Schwarzschildradie, och denna Schwarzschildradie avgör även vilken massa det svarta hålet har.

Vi kom fram till följande resultat:

1. I astronomiska sammanhang går massan hos ett objekt att mäta genom att observera hur olika saker rör sig långt bort från detta objekt.
2. Schwarzschildradien bestämmer det svarta hålets storlek.
3. Det svarta hålets massa är proportionerlig mot dess Schwarzschildradie.
4. Tätheten hos ett svart hål beror på hur stor massa det svarta hålet har. Ju större massa desto mindre täthet.
5. Tidvattenkrafterna hos ett svart hål blir mindre ju större massan är. Det är därför säkrare att åka in i ett stort (dvs mera massivt) svart hål än ett litet.

Storleken hos ett svart hål avgör således dess massa, och massan avgör i sin tur vilken täthet det svarta hålet har och hur starka tidvattenkrafterna är utanför det. Ju större massa desto större storlek, men också mindre täthet och mildare tidvattenkrafter.

I nästa artikel ska vi se vad som händer inuti det svarta hålet. Vi kommer då att lära känna det andra märkliga fenomenet (utöver händelsehorisonten) hos ett svart hål: singulariteten. Men innan vi dyker in i det svarta hålet ska vi titta på hur det faktiskt går att observera ett svart hål, och i synnerhet ett väldigt speciellt svart hål: det som finns i mitten av vår egen galax.